Matematika, kde by ste ju nehľadali je témou májovej prednášky v rámci cyklu SAVinci. Do lobby Westend Gate s ňou zavíta riaditeľ Matematického ústavu SAV Karol Nemoga. Westend a Slovenská akadémia vied spoločne pokračujú v predstavovaní nových vedeckých objavov v stredu 29. mája o 17.30.
Názov vašej prednášky napovedá, že budete hľadať matematiku v rôznych netypických oblastiach. Kde ju teda skutočne nenájdeme?
Matematika je naozaj všade. Musíte si dať naozaj veľkú prácu, aby ste našli niečo, kde matematika nie je. Na poslednom dni otvorených dverí mi študenti povedali, že v opernom speve ju nenájdeme. Pritom v hudbe matematiku nájdeme skoro všade, od tónových systémov cez ladenia až po noty. Hudba z rôznych krajín sveta má rôzne matematické zákonitosti a keď napríklad Japoncovi pustíte Beethovena, nie je na to pripravený. Tá hudba sa totiž výrazne líši od matematickej skladby muziky, ktorú bežne počúvajú v Ázii alebo v Afrike.
Takže tvrdíte, že matematiku nájdeme aj v umení?
Samozrejme, a nielen v hudbe. Dôkazom je, že pri správnom naprogramovaní počítač vie namaľovať obraz. Zadáte mu krajinu, alebo doň nahráte fotku nejakej scenérie, a on ju „premaľuje“ tak, že výsledok vyzerá ako dielo Van Gogha. Matematiku síce na prvý pohľad nevidíme, ale v pozadí tých vecí je.
Prečo ju potom veľmi nevnímame napriek tomu, že je všade okolo nás?
Matematika prekonala búrlivý rozvoj za posledných 350 rokov. Žije si vlastným životom, problémy v nej sa postupne riešia, ďalšie sa postupne vynárajú. Napreduje svojím tempom, často pomalšie ako technologický pokrok. Teória čísel tu je už stáročia, ale jej prvá aplikácia v šifrovaní vznikla niekedy pred štyridsiatimi rokmi.
Vieme aj my nejako ovplyvniť jej vývoj, pokrok, ktorý v oblasti matematiky nie je vždy najrýchlejší?
Niekedy matematika napreduje aj na objednávku spoločnosti. Vezmime si napríklad lietadlo. Na to, aby lietalo, potrebuje mať vyriešenú aerodynamiku, ktorá sa vyráta obrovským množstvom komplexných rovníc a vzorcov, ktoré vo výsledku určia, ako má vyzerať.
Napríklad ako Boeing 737 Max, ktorý mal nedávno problémy a nedokonalá technológia spôsobila nehody?
Tam bol problém so softvérom. Počítače sú teraz základom akejkoľvek komunikácie medzi lietadlom a pilotom a reálne má ovládanie v rukách počítač. Softvéry musia byť, samozrejme, testované a vyladené, čo nebol prípad nových Boeingov. Nastali tam problémy v programe, ktorý bol napísaný tisíckami ľudí. Obrovské množstvo expertov dáva po častiach dokopy komplexný softvér, ktorý následne testuje program, ktorý je opäť napísaný ľuďmi. A tu prichádzame do styku s matematikou, konkrétne s matematickou logikou, ktorá pri testovaní využíva jednoduché princípy ako predpoklad a dôsledok. Niektorí študenti elektrotechnickej fakulty sa čudujú, prečo v štvrtom ročníku musia študovať matematickú logiku, ale jej využitie ako prostriedku dokazovania správnosti programu je úplne bežné.
„Dnes je úplne bežné, že základné princípy matematickej logiky sa uplatňujú pri testovaní najmodernejších technológií.“
Má s týmto niečo spoločné aj umelá inteligencia, ktorá sa presadzuje v mnohých oblastiach a využívajú ju napríklad výrobcovia áut Tesla alebo Volvo?
Určité postupy v umelej inteligencii majú jednu nevýhodu. Ak je nejaký stroj naučený vyvíjať sa, adaptovať a učiť sa na základe nejakých vstupných dát, po istom čase nie je možné vyhodnotiť, prečo sa stroj zachoval tak, ako sa zachoval. Môže sa naučiť dobre šoférovať alebo dobre pilotovať, ale nikdy nebude možné odhadnúť, ako sa najbližšie zachová. Pre toto si myslím, že v lietadlách je umelá inteligencia zatiaľ nepoužiteľná.
A v osobnej doprave, v autách?
V autách to podľa mňa príde oveľa skôr. Už dnes je v istých krajinách povolené autonómne riadenie vozidla . S ním je však spojené množstvo právnych problémov, ktoré bránia jeho rozšíreniu. Je tam napríklad známa dilema – ak „autopilot“ prineskoro zaznamená mamičku s kočíkom v strede cesty a môže sa vyhnúť zrážke iba tak, že vážne ohrozí vodiča, čo urobí? Napriek tomu si myslím, že táto technológia si pomerne rýchlo nájde cestu do bežného života a zmení spôsob dopravy vo svete. Pomohlo by to aj v Bratislave.
Pravdepodobne je to hudba veľmi vzdialenej budúcnosti?
Ako rýchlo tu boli mobily? Pred 30 rokmi o nich ešte nikto nechyroval, dnes sú úplne bežnou súčasťou našich životov. Telefonujem s ľuďmi v Amerike, nakupujem, vykonávam finančné operácie. To je tiež matematika, ktorá nás obklopuje každý deň.
Ak by oproti vám sedel zarytý odporca matematiky a vy by ste ho chceli presvedčiť o jej kráse, ale mohli by ste mu to vysvetliť iba na jednom príklade, ktorý by ste použili?
Teóriu čísel a jej využitie v šifrovaní. Väčšina bezpečnostných metód v technológiách je založená na súčine dvoch prvočísel, čo je jednoduchý, a pritom zaujímavý princíp. Nejde tam o náročnosť použitia šifry, ale skôr o priveľké množstvo možností, ktorými môže byť šifra rozlúštená. Väčšinou riešenie nie je zložité, ale trvá pridlho na to, aby to nejaký hacker stihol rozlúštiť včas počas procesu.
Je to spoľahlivý spôsob ochrany týchto technologických procesov?
Nie je neprelomiteľný. Najznámejší príklad prelomenia šifry je kód Enigma, ktorý za druhej svetovej vojny používala Nemecká armáda. Vďaka jej rozlúšteniu boli ušetrené milióny ľudských životov a vojna sa skončila možno o dva roky skôr.
Bezpečnosť komunikácie je jednou z najvážnejších úloh matematiky v súčasnosti.
Je to príklad z polovice minulého storočia. Je to aj v dnešných časoch stále spoľahlivý spôsob, ako ochrániť technologickú komunikáciu pred rôznymi druhmi útokov?
Dnes tu doslova lietajú peniaze vo vzduchu. Zdvihnete telefón a zaplatíte 300 eur za nájom, a funguje to. Je to bezpečné. Otázka je, čo spôsobia kvantové počítače, ak sa stanú bežnou realitou a budú môcť vykonať veľké množstvo operácií naraz. Pre ne nebude problém šifru vylúštiť, lebo budú schopné za veľmi krátky čas vygenerovať všetky riešenia, zanalyzovať ich a vybrať to správne.
Toto sú problémy, ktorým sa venujú milióny ľudí po celom svete. Ktorej oblasti sa v matematike venuje málo ľudí?
Veľmi málo ľudí sa venuje napríklad algebraickej teórii čísel, kam patrí napríklad dôkaz Veľkej Fermatovej vety. Hovorí, že keď máme ľahký príklad a2 + b2 = c2, vieme nájsť čísla, ktoré môžeme dosadiť za a, b, a c tak, aby bol príklad správny. Ak však znie príklad a3 + b3 = c3, také čísla už nenájdeme. Rovnako keď je mocnina 4, 5 alebo vyššie. Samotná veta však nie je taká zaujímavá ako fakt, že Fermat vo svojej knihe, kde je veta uvedená, na okraj napísal, že má síce dôkaz, ale nezmestí sa mu tam. Takže matematici po celom svete sa 300 rokov venovali tomu, aby túto vetu dokázali, trávili nad výpočtami roky, zapísali stovky strán. Nakoniec ju dokázali, ale museli do toho investovať naozaj veľa času a energie. Pričom Fermat ten dôkaz mal už pred 300 rokmi, len sa mu nezmestil do knihy.
